ECUACIONES CUADRÁTICAS

GUÍA # 4  MATEMÁTICAS

GRADO: 11º

TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

                                                DOCENTE: DIEGO ANDRÉS USUGA RÍOS

TELÉFONO DE CONTACTO: 3104950748

I.E EL SALVADOR, PUEBLORRICO, ANTIOQUIA

ORIENTACIONES PARA LA COMPRENSIÓN DE LA UNIDAD DE ESTUDIO:

Para la realización de las actividades sugeridas en la cuarta entrega del tema de ecuaciones lineales de segundo grado, se hace necesario tener muy buena comprensión del componente teórico y primordialmente observar detenidamente el paso a paso de los ejercicios que se dan como ejemplo para que tengas elementos claros de cómo resolver la actividad evaluativa relacionada al final de la guía.

Es crucial que observes algunos videos donde doy explicaciones claras acerca del proceso a seguir en la resolución de ejercicios similares a los del taller a presentar. 

Debes tener presente que si surge alguna duda o inquietud en cuanto a resolver los ejercicios indicados, siempre estaré presto a brindar la respectiva asesoría vía telefónica, para la cual primero te sugiero manifestarla a través del whatsApp y una vez recibida haré devolución de llamada para proceder a dar explicación.

Espero contar por tu parte de mucho compromiso, dedicación e interés para que puedas aprender acerca del contenido que estructura esta tercera guía de aprendizaje.

FECHA DE ENTREGA: Julio 31/2020

¡Éxitos y tengan presente siempre que el objetivo de estudiar es aprender algo nuevo que puede ser de utilidad para su vida!

Criterios de evaluación:

1.1. Resuelve ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

1.2.Grafica ecuaciones cuadráticas en el eje de coordenadas.

1.3. Define e identifica las raíces de una ecuación cuadrática.

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

            

                                                     

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita x es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y la forma más común en la que se expresa es:

ax +bx + c = 0

Donde “a” es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0 (pues si fuera cero, la ecuación no sería de segundo grado), “b” es el coeficiente lineal o de primer grado y “c” es el término independiente.

Ejemplos: 

x² – 9 = 0

x² – x – 12 = 0

 2x² – 3x – 4 = 0

                          X² – 9 = 3x + 1        

          X · (x + 1) = 56        

 (x + 2)² = 81

Las Ecuaciones Cuadráticas hacen curvas bonitas, como ésta:

Recuerda que cuando delante de la “x” no aparece ningún número multiplicando se entiende

que el coeficiente correspondiente es 1. Es conveniente destacar que, en principio, una ecuación de segundo grado puede no llevar en su forma inicial la “x” elevada al cuadrado, pero en el desarrollo previo a su resolución aparece este término cuadrático. Observa las dos últimas ecuaciones que se dan en los ejemplos anteriores. Como norma general, veremos que para resolver ecuaciones de segundo grado, en primer lugar desarrollaremos los términos que aparecen, quitando paréntesis, agrupando términos semejantes y ordenándolos de forma conveniente hasta llegar a la expresión general ax² + bx + c= 0.

Aunque en la expresión general los coeficientes a, b y c aparecen como positivos (por simplificación), debemos tener presente que pueden tomar valores tanto positivos como negativos.

EJEMPLO: Escribe la siguiente ecuación de segundo grado ordenada de acuerdo con la expresión general ax² + bx + c = 0

(x – 3)² + 1 = 2x – 5

En primer lugar quitamos los paréntesis, desarrollando la diferencia al cuadrado:

                                                x² - 6x + 9 + 1 = 2x – 5

A continuación pasamos todos los términos a un lado dejando igualado a cero y teniendo presente el cambio de signos:

x² – 6x – 2x + 9 + 1 + 5 = 0

Después agrupamos los términos semejantes:

x² – 8x + 15 = 0    -----------  a = 1;      b = –8;      c= 1

Ya tenemos la ecuación ordenada y lista para resolverla.

Las ecuaciones de segundo grado pueden ser completas o incompletas dependiendo de que falte o no algún término. Lógicamente, el término ax² no puede faltar pues entonces no sería una ecuación de segundo grado, aunque el término bx o el término c sí que pueden faltar en una ecuación concreta. En el punto siguiente veremos la forma de resolver ecuaciones de segundo grado mediante la expresión de la fórmula general y algunos métodos particulares para ecuaciones incompletas. Realmente, una ecuación del tipo ax² = 0 sólo puede tener una única solución y esa solución es x=0, independientemente del valor que tenga el coeficiente a.

3x² = 0 ------------ x = 0

- 8x² = 0 ----------- x = 0

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS E INCOMPLETAS.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar el valor o valores de la incógnita x que hace que se cumpla la igualdad que establece la propia ecuación. Conviene aclarar que las ecuaciones de segundo grado pueden tener una, dos o ninguna solución posible, tal y como veremos a continuación. Para empezar con la resolución de ecuaciones de segundo grado vamos a partir de un sencillo ejemplo. Realmente se trata del tipo más simple ecuación cuadrática que nos podemos encontrar. Si queremos resolver la ecuación (incompleta).

x² = 9

Resulta evidente que se trata de calcular un número que al elevarlo al cuadrado dé como resultado 9. En principio, sin necesidad de aplicar ningún método más allá de la propia intuición, la respuesta más inmediata es x = 3. Esta solución es correcta pero no debemos olvidar que si elevamos al cuadrado el número – 3, también obtenemos como resultado 9. Por tanto, esa ecuación tiene dos posibles soluciones: x = 3 y x = –3.

A continuación vamos a ir analizando las diferentes formas de resolución de ecuaciones de segundo grado empezando por las ecuaciones incompletas.

a)          Ecuaciones cuadráticas del tipo ax² + c = 0

En este tipo de ecuaciones falta el término bx, por lo que sólo hay término con x² y un término independiente. Para resolver este tipo de ecuación se procede, en principio, como si fuera una ecuación de primer grado, dejando a un lado del signo igual todos los términos con x² y en el otro lado todos los términos independientes. A continuación se despeja la x² y finalmente, para hallar x, se calcula la raíz cuadrada del valor obtenido para x²

EJEMPLO 1: Resolver la ecuación: 3x² – 6 = x² + 2

Comprobamos que se trata de una ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax² + c = 0.

Efectivamente, si reordenamos los términos nos quedará: 3x² – x² – 2 – 6 = 0, o una vez agrupados los términos semejantes: 2x² – 8 = 0.

Para resolver la ecuación dejamos el término con x² en un lado del igual y el término independiente en el otro lado.

2x² = 8

A continuación, despejamos x²: 

X² = 8/2 = 4

Finalmente hallamos el valor de x calculando la raíz cuadrada:

√x² = √4

X = ± 2

Las dos soluciones son: x₁ = 2

                             x₂= –2

Verificación: Se reemplaza en la ecuación inicial los valores de las variables, así:

Primero se reemplaza con x₁ = 2 y se efectúan las operaciones.

2x² = 8

2(2)² = 8

2(4) = 8

8 = 8

Luego se reemplaza con x₂ = - 2 y se efectúan las operaciones.

2x² = 8

2 (-2)² = 8

2 (4) = 8

8 = 8

Si ambos en ambos resultados se llega a una igualdad, es porque los valores de la variable “x” son correctos. 

EJEMPLO 2: Resolver la siguiente ecuación: (x + 6) · (x - 6) = 13

En primer lugar desarrollamos el producto para eliminar los paréntesis. Observamos que se trata de una suma por una diferencia de dos términos. Si recuerdas las igualdades notables que debiste haber visto en el tema de álgebra, podemos escribir esos productos como diferencia de cuadrados:

(x + 6) · (x – 6) = 13 ------------- x² – 36 = 13

De esta forma hemos obtenido una ecuación de segundo grado incompleta. A partir de esa expresión podemos proceder como en los ejemplos anteriores:

x² = 36 + 13

x² = 49

√x² = √49

X= ± 7

Soluciones: x₁ = +7

                     x₂ = -7

Verificación: Se reemplaza en la ecuación inicial los valores de las variables, así:

Primero se reemplaza con x₁ = +7 y se efectúan las operaciones.

(x + 6) · (x – 6) = 13

(7 + 6) · (7 – 6) = 13

(13) · (1) = 13

13 = 13

Luego se reemplaza con x₂ = -7 y se efectúan las operaciones.

(x + 6) · (x – 6) = 13

(- 7  + 6) · (- 7 – 6) = 13

(- 1) · (- 13) = 13

13 = 13

b)          Ecuaciones cuadráticas del tipo ax² + bx = 0

En este tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas falta el término independiente. Podemos observar que en los dos términos aparece la “x”. Se trata pues de un factor común, puesto que la incógnita “x” está multiplicando tanto al coeficiente “a” como al “b”. El hecho de que aparezca la “x” en ambos términos nos va a permitir reescribir la ecuación sacando factor común a la “x”. Por tanto, el primer paso para resolver este tipo de ecuaciones será sacar “x” factor común y obtener así una ecuación equivalente. Observa el ejemplo:

3x² – 15x = 0

Sacamos factor común, así:     x · (3x – 15) = 0

De esta forma hemos obtenido un producto de dos términos: el término “x” y término “(3x -15)”. Si este producto es igual a cero sólo puede ser porque al menos uno de esos dos términos es igual a cero. Entonces o bien el término x = 0 (lo cual supone ya una solución de la ecuación), o bien el término 3x-15 es igual a cero.

EJEMPLO 1: Resuelve la ecuación: 4x² – 3x = 2x² + 7x

En primer lugar reordenamos los términos, pasando todos los que llevan x a un lado del signo igual y a continuación agrupamos en un solo término aquellos que sean semejantes.

4x² – 2x² – 3x – 7x = 0

2x² – 10x = 0

Ya tenemos la ecuación de segundo grado incompleta y ordenada. El siguiente paso es sacar factor común la “x”:

x · (2x – 10) = 0

Para la primer solución el primer término (X) debe ser cero y el segundo (2x – 10) también la X debe ser reemplazada por cero para que al realizar la operación se llegue a la igualdad donde 0 = 0.

Por lo tanto la primer solución es: X = 0

La segunda solución sería:

2x – 10 = 0

2x = 10

x = 10 / 2 = 5

x = 5

Solución: x₁= 0

                  x₂= 5

Verificación:

Primero se reemplaza con x₁ = 0 y se efectúan las operaciones.

4x² – 2x² – 3x – 7x = 0

4(0)² – 2(0)² – 3(0) – 7(0) = 0

4(0) – 2(0) – 0 – 0 = 0

0 – 0 – 0 – 0 = 0

0=0

Luego se reemplaza con x₂ = 5 y se efectúan las operaciones.

4(5)² – 2(5)² – 3(5) – 7(5) = 0

4(25) – 2(25) – 15 – 35 = 0

100 – 50 – 15 – 35 = 0

100 – 100 = 0

0 = 0

En general, siempre que tengamos una ecuación en la que aparezca un producto de dos términos y ese producto sea igual a cero, necesariamente alguno de los términos ha de ser cero y esto nos sirve para poder resolver la ecuación igualando a cero cada uno de esos términos:

EJEMPLO 2: Resuelve la ecuación: (x + 3) · (x - 4) = 0

x + 3 = 0 ------------  x = - 3

x – 4 = 0 --------- x = 4

Soluciones: x₁ = -3

                     x₂= 4

Verificación:

Primero se reemplaza con x₁ = - 3 y se efectúan las operaciones.

(x + 3) · (x - 4) = 0

  (-3 + 3) · (-3 - 4) = 0

  0 . (-7) = 0

 0 = 0

Luego se reemplaza con x₂ = 4 y se efectúan las operaciones.

(x + 3) · (x - 4) = 0

(4 + 3) · (4 - 4) = 0

7 . (0) = 0

0 = 0

EJEMPLO 3: Resuelve la ecuación: (4x – 8) · (6x – 3) = 0

Para que la igualdad sea cierta o bien el término (2x - 8) es igual a cero o bien el término (6x – 3) es igual a cero.

4x – 8 = 0 -------- 4x = 8 --------  x = 2

6x – 3 = 0 -----------6x = 3------------- x = 1/2

Soluciones: x₁ = 2

                      x₂= ½

Verificación:

Primero se reemplaza con x₁ = 2 y se efectúan las operaciones.

(4x – 8) · (6x – 3) = 0

[4(2) – 8] · [6(2) – 3] = 0

[8 – 8] · [12 – 3] = 0

[0] · [9] = 0

0 = 0

Luego se reemplaza con x₂ = 4 y se efectúan las operaciones.

(4x – 8) · (6x – 3) = 0

[4(1/2) – 8] · [6(1/2) – 3] = 0

[4/2 – 8] · [6/2 – 3] = 0

[2 – 8] · [3 – 3] = 0

[- 6 ] · [3 – 3] = 0

[- 6 ] · [0] = 0

0 = 0

c) Ecuaciones de segundo grado completas: ax² + bx + c = 0

Esta es la forma más común de expresar las ecuaciones de segundo grado completas. Para resolver una ecuación de este tipo hemos de ordenarla previamente si no lo está. Es importante recordar que los coeficientes que aparecen a, b y c siempre hacen referencia a:

a es el coeficiente que acompaña a la x²

b es el coeficiente que acompaña a la x

c es el término independiente.

La resolución de estas ecuaciones se realiza aplicando una fórmula general, que es útil para hallar los valores de la incógnita “x” es:

Las letras que aparecen en la fórmula corresponden con los coeficientes de los términos que aparecen en la ecuación general una vez ordenados. El signo ± que aparece delante de la raíz indica que son posibles dos soluciones y que estas soluciones se obtienen una sumando y otra restando el valor obtenido de dicha raíz y operando oportunamente. A todo lo que está dentro de la raíz se le da el nombre de discriminante.

Discriminante -------- b² – 4ac

NOTA:

Si el valor final del discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si el valor final del discriminante es cero, la ecuación tiene una única solución.

Si el valor final del discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Acerca de la Fórmula Cuadrática

Más/Menos

Primero que nada, ¿qué es ese símbolo de más/menos que se ve así ±?

El signo ± significa que hay DOS respuestas:

Aquí hay un ejemplo con dos respuestas:

RECUERDA:

Si se nos presenta una ecuación de segundo grado completa pero desordenada, el primer paso que daremos será ordenarla de manera que se ajuste a la forma ax² + bx + c = 0. Una vez identificados los valores numéricos correspondientes a los coeficientes a, b y c ya podemos sustituirlos en la fórmula y operar. Conviene recordar que los valores de a, b y c que se sustituyen en la fórmula incluyen a sus correspondientes signos tal y como se encuentran en la ecuación ordenada. Cuando aparece el término – b en la fórmula, significa que debemos escribir el valor del coeficiente b pero cambiado de signo, con respecto al que aparece en la ecuación.

A continuación se muestran otros ejemplos resueltos de ecuaciones de segundo grado completas, obsérvalas bien y ten a la mano la fórmula de la ecuación cuadrática para que te fijes bien a qué término corresponde cada elemento que se ha reemplazado en ella, es decir, quién es “a”, “b” y “c”, de resto solo es hacer las respectivas operaciones.

Una vez encontrado el valor o valores que satisfagan la ecuación, se procede a reemplazarlos en la ecuación original para comprobar si son correctos.

Solución de ecuaciones cuadráticas: Método Gráfico

Cuando se grafican, las ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx + c, forman una curva en forma de U o U inversa llamada parábola. Graficar una ecuación cuadrática es cuestión de encontrar su vértice, dirección y por lo general sus interceptos en sus ejes (x, y). Si se trata de una ecuación cuadrática relativamente simple, podría ser suficiente crear una tabla con valores de x para trazar la curva con los puntos resultantes.

Estos son algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas con el método gráfico.

PASOS PARA GRAFICAR UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA:

PRIMER EJEMPLO

      1. Una vez que la función se encuentre ordenada, o sea que la “y” esté despejada, podemos encontrar los valores de la “a”, “b” y “c”. Ver el ejemplo:

y = 2x² – 4x – 1

En esta función:

a es: 2x² ; b es: – 4x; c es: – 1 (término independiente)

los valores serían: 

a = 2

b = -4

c = -1

    2.  Se halla el valor que corresponde al vértice del gráfico. Para ello se utiliza la siguiente fórmula y se procede a reemplazar por los valores hallados en la ecuación. 

Donde:

X, es el punto donde se origina la parábola

Reemplazando nos da:

X = - (- 4) / 2(2)

X = 4 / 4

X = 1

(Es el centro de la parábola que se forma llamado vértice)

      3. Se elabora una tabla de valores como la siguiente y en el centro se ubica el valor encontrado de la “x”, así: 

X			1
Y

Se recomienda escribir tanto al lado derecho como izquierdo los dos números siguientes al valor ubicado en el centro de la tabla, así:

X	-1	0	1	2	3
Y

      4. Luego, se procede a obtener los valores de la variable “y”, reemplazando cada valor dado a la “x” en la función inicial, así: 

        5. Se escriben los valores hallados de la variable “y” en la tabla, cada uno debajo del valor que le corresponde a cada “x”, así: 

X	-1	0	1	2	3
Y	5	- 1	- 3	- 1	5

     6.  Se traza un plano cartesiano y se ubica cada pareja de coordenadas en su respectivo eje, así: 

                7.Se unen los puntos para graficar la parábola, así: 

Obsérvese que el origen del vértice coincide exactamente con el valor obtenido en el primer paso, el cual fue: X = 1

SEGUNDO EJEMPLO:

y = -x² + 4x - 3

      PASO 1: Se encuentran los valores de la “a”, “b” y “c”.

a = - 1  ; b = + 4    ;  c = - 3

      PASO 2: Se halla el valor que corresponde al vértice del gráfico. Se utiliza la fórmula y se procede a reemplazar por los valores hallados en la ecuación.

Reemplazando nos da:

X = - (4) / 2 (- 1)

X = - 4 / -2

X = 2

(Es el centro de la parábola que se forma llamado vértice)

      Paso 3: Se elabora la tabla de valores y en el centro se ubica el valor encontrado de la “x”, al lado derecho e izquierdo se escriben los números que siguen y anteceden,  así:

X	0	1	2	3	4
Y

     

      Paso 4: Se procede a obtener los valores de la variable “y”, reemplazando cada valor dado a la “x” en la función inicial, así:

      Paso 5: Se escriben los valores hallados de la variable “y” en la tabla, cada uno debajo del valor que le corresponde a cada “x”, así: 

X	0	1	2	3	4
Y	-3	0	1	0	-3

      Paso 6: Se traza un plano cartesiano y se ubican cada pareja de coordenadas en su respectivo eje, así:

      Paso 7: Se unen los puntos para graficar la parábola, así: 

Obsérvese que el centro de la parábola llamado vértice es: X = 2, valor obtenido en el paso 2. 

OBSERVA LOS SIGUIENTES VIDEOS EN LOS QUE SE DAN VARIOS EJEMPLOS ACERCA DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. 

1: Ecuación cuadrática incompleta de tipo ax² = 0

2: Ecuación cuadrática incompleta de tipo ax² + bx= 0

3: Ecuación cuadrática incompleta de tipo ax² + c = 0

4: Ecuación cuadrática completa de tipo ax² + bx + c = 0 con fórmula general 

5: Ecuación cuadrática completa con términos a ordenar o agrupar

6: Ecuación cuadrática por método gráfico 

ACTIVIDAD EVALUATIVA

Para el desarrollo del taller, debes ponerte en contacto con el docente para la asignación de los puntos, los cuales puede ser de forma individual o por pareja.

   Individual:  5 de ecuaciones incompletas, 8 con aplicación de la fórmula general y 4 con método gráfico.

Pareja: 10 de ecuaciones incompletas, 15 con aplicación de fórmula general y 8 con método gráfico.

        1. Resolver las siguientes ecuaciones incompletas.

Ø   3x² – 27 = 0

Ø   2x² + 3x  = - 5x

Ø   3x² + 2x= 0

Ø   4x² = x

Ø   3x - 6x² = 2x² – 5x

Ø   7x + 21x² = 0

Ø   3x² = 6x

Ø  x² + 8x = 0

Ø  x² – 5x = 0

Ø  x²−81=0

       2.Resolver las siguientes ecuaciones completas utilizando la fórmula general de la ecuación cuadrática.

     3.Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método gráfico.

En el siguiente enlace podrán acceder a una calculadora on line del recurso Geogebra para el gráfico de ecuaciones cuadráticas, la cual servirá de ayuda para comprobar si los gráficos elaborados son correctos. (Ver instrucciones de uso en video anexo)

https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

VIDEO CALCULADORA GEOGEBRA PARA GRÁFICO DE ECUACIONES