SISTEMA DE ECUACIONES



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2 X 2 

ORIENTACIÓN PARA EL ESTUDIO DE LA UNIDAD:
El contenido que a continuación vas a encontrar se encuentra diseñado de manera que se tenga una comprensión muy clara acerca del tema “Sistema de ecuaciones lineales 2x2”, el cual se hace necesario estudiar, ya que es fundamental para la solución de muchas de las situaciones matemáticas que se te presentarán en contenidos que se programarán en otras unidades de estudio. Por lo tanto, sugiero que se haga una lectura rigurosa del componente teórico que se anexa, observando con mucho cuidado los procesos que se relacionan, no se puede avanzar en el contenido si no ha entendido bien lo que vayas abordando y si dado el caso llegase a surgir alguna duda, inmediatamente manifiéstala a través de mi número personal (3104950748) que con gusto te atenderé.
Es muy importante que tomes el tiempo necesario para observar en su totalidad los videos suministrados, ya que te permitirán dar una mejor orientación acerca de los procesos a emplear para solucionar los ejercicios propuestos en el taller, el cual puedes resolver ya sea de forma individual o por pareja, eso sí asumiendo el proceso con la honestidad y responsabilidad que los debe caracterizar como estudiantes de último grado, porque la idea es no saturarlos de información sino que realmente aprendan algo que les pueda ser de utilidad en sus estudios futuros. 

¡Mucho ánimo en el estudio de este tema y espero que no desistan en el principio de aprender con agrado algo nuevo cada día!
TEMAS: 

1. Introducción: sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 
2. Método de resolución de S.E.L.
3. Clasificación de S.E.L.
4. Ejercicios.


Criterios de evaluación: 

1. Reconoce que es una ecuación y los elementos que la estructuran. 
2. Identifica los sistemas de ecuaciones lineales como expresiones polinómicas de primer grado. 
3. Resuelve ejercicios propuestos de sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 aplicando cualquiera de los tres métodos explicados para encontrar sus soluciones. 

1. INTRODUCCIÓN: SISTEMA DE ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS

Estas ecuaciones tienen un gran número de aplicaciones en la economía en lo que respecta al estudio de la oferta y la demanda, por esta razón explicamos qué son y sus características para que tengas una idea sólida sobre las ecuaciones lineales. 

La importancia de los sistemas de ecuaciones no es otra que ayudarnos a resolver situaciones problemáticas que se nos plantean en la realidad, para ello en primer lugar se traduce el problema al lenguaje algebraico, después se obtienen las soluciones del sistema, y por último se comprueba si la solución matemática obtenida es válida como respuesta al problema de partida

Debemos tener en cuenta que una ecuación es cualquier expresión en la que se encuentre el símbolo de igualdad y cuando esta expresión tiene solamente un término se conoce como monomio, y a partir de ahí se conocen como binomios o polinomios. Las ecuaciones lineales con una variable podrían denominarse como una ecuación polinómica de primer grado y adquieren este nombre ya que en la geometría analítica forman una recta.
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que buscamos una solución común. Se denomina sistema porque las dos ecuaciones, a pesar de ser cada una diferentes, están relacionadas o vinculadas o unidas entre sí, por las dos incógnitas x e y. Se denomina ecuación porque es una igualdad para determinados valores de las incógnitas buscadas y, se denominan lineales porque al representarlas gráficamente obtenemos una recta por cada ecuación.
Una solución de un S.E.L. con dos incógnitas es un par de valores (x; y) que hacen verdaderas simultáneamente las dos ecuaciones. Resolver el sistema es encontrar esos valores.
La notación general de un S.E.L. con dos incógnitas es:

En donde: a,b,c,d,e,f son valores conocidos. Y a,b,d,e son los coeficientes de las incógnitas. Y c,f son los términos independientes.

Observa en su totalidad el siguiente video que permite asimilar el concepto de qué es una ecuación, solución de una ecuación, sistemas de ecuaciones y solución de un sistema de ecuaciones, dentro del curso de Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.


METODOS DE RESOLUCION DE S.E.L. 

Para resolver y encontrar los valores (x; y) que sean solución del S.E.L. hay varios métodos que nos conviene saber, ellos son:

· Método de REDUCCIÓN.
· Método de SUSTITUCIÓN.
· Método de IGUALACIÓN.
· Método GRÁFICO.

1. MÉTODO DE REDUCCIÓN Ó ELIMINACIÓN: El objetivo es hallar otro sistema, con las mismas soluciones, que tengan los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signos contrario, para que al restar o al sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca.

Sea el siguiente sistema:
Si observamos las dos ecuaciones tienen coeficiente 5 en la incógnita "y" , además tienen signos opuestos. Si sumamos las dos ecuaciones nos queda:


Es decir, desaparece la variable y , quedando todo en función de la variable x. 
Ahora pasamos 5 al otro miembro de la igualdad dividiendo (porque multiplica a x ).
Así hemos encontrado el valor de x . Lo que nos queda es reemplazar ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones y hallar el valor de y . Tomo la primera.


 Tomo la primera de las ecuaciones. 
Reemplazo el valor de x por el que encontré, 3. Multiplico el coeficiente que tiene x por el valor de x . Hago pasaje de término con el 6. 
Resuelvo el segundo miembro de la ecuación y da 5. Paso dividiendo el coeficiente de y pues está multiplicando. 
Resuelvo la división y encuentro el valor de "y"

La solución que encontré mediante el método de REDUCCIÓN para el S.E.L dado es (3; 1). Ahora debo verificar si esa solución hace verdadera a las dos ecuaciones simultáneamente. 
Esta verificación se hace reemplazando los valores hallados de cada una de las variables siendo en este caso: 

X = 3 ; Y= 1

Veamos otro ejemplo cuando no hay términos que coincidan para eliminar inmediatamente: 

Sea el siguiente sistema:
Si se quisiera eliminar la "x"o la "y" se debe hallar primero el M.C.M de sus coeficientes, en este caso tomaremos los de la letra "y", es decir 6 y 8, así: 
Por lo tanto, necesitamos que tanto el 6 como el 8 se conviertan en 24 pero que quede uno positivo y otro negativo, para que en el momento de sumar se cancelen; esto se hace multiplicando el 6 por el 4 y el 8 por el 3, así: 
Luego, cada uno de los términos de la primer ecuación se multiplica por el - 4 y los de la segunda por el 3, obteniendo así dos nuevas ecuaciones que se enumeran con el 3 y 4, así: 
A continuación, se traza una línea y se efectúa una suma de forma vertical entre ambas ecuaciones, de izquierda a derecha y así se cancelan o eliminan los términos correspondientes a la variable "y", obteniendo una nueva ecuación a la que enumeraremos con el 5, así: 
Seguidamente de esta ecuación obtenida, se despeja la variable "x", para hallar su respectivo valor, así: 
Reemplazamos el valor obtenido de "x" en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, en este caso lo haremos en la primera, para obtener el valor de la variable "y", la cual debe ser despejada así: 
Así llegamos a los valores requeridos que dan solución al sistema, el cual se verifica reemplazándolos en las dos ecuaciones iniciales, debiendo dar siempre una igualdad, así: 


VIDEO 1
VIDEO 2

VIDEO 3


 2. MÉTODO DE SUSTITUCION: lo que se hace es despejar (dejar sola) una de las incógnitas en una de las ecuaciones, luego se sustituye su valor en la otra ecuación.

Sea el siguiente sistema:
Busco la incógnita que tenga coeficiente uno, para facilitar cálculos, elijo entonces la y en la primera o x en la segunda. Tomo la primera ecuación y despejo y .


Reemplazo este valor de “y” en la segunda ecuación.
Lo que voy a hacer ahora es distribuir el 2 con los términos que hay dentro del paréntesis.
Resuelvo las multiplicaciones.
Agrupo números y las x en cada miembro. Sumo x y sumo números.
Paso dividiendo el -3 que multiplica a la x .
Obtengo así el valor de x .

Tomo ahora la ecuación que elegí primeramente. 
Reemplazo en ella el valor que halle de “x” , o sea 1. 
Resuelvo y encuentro así el valor de “y”.

La solución que encontré mediante el método de SUSTITUCIÓN para el S.E.L. es 
(1; 2). Ahora debo verificar si esa solución hace verdadera a las dos ecuaciones simultáneamente. Entonces tomo el sistema original y reemplazo allí los valores encontrado de cada incógnita.


VIDEO 1

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VIDEO 3


3. MÉTODO DE IGUALACION: Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar sus resultados. 

Sea el siguiente sistema:
Voy a despejar "y" en ambas ecuaciones ya que su coeficiente es uno lo que hace que los cálculos sean mucho más sencillos.

Despejando "y" en las dos ecuaciones queda así, como es lógico y = y, entonces, sus segundos miembro también lo serán.

Así queda cuando igualo los resultados anteriores. 

Luego agrupo términos, x por un lado y números por otro, llegando al valor de x que busco.
Ahora tomo cualquiera de las dos ecuaciones y reemplazo el valor de x por el que encontré para hallar el valor de "y".

La solución que encontré mediante el método de IGUALACIÓN para el S.E.L. es
(3; 1). Ahora debo verificar si esa solución hace verdadera a las dos ecuaciones simultáneamente VERIFICACIÓN.


VIDEO 1
VIDEO 2


VIDEO 3
4. MÉTODO DE GRÁFICO: Consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases en el siguiente ejemplo:

1.    Se despeja una de las dos variables en cada ecuación, ya sea que esté en función de “x” o de “y”, en caso de no estar despejada. 








En este caso, las ecuaciones ya se encuentran despejadas en función de “y”. 

2. Se elabora una tabla de valores para cada ecuación, hallando mínimamente tres puntos para cada una de ellas, generalmente se ubican el 0, 1 y 2,  así:

Ø  Para la ecuación y = 4 – x, queda así: 
  
X
0
1
2
y
4
3
2

Se reemplazan los valores en la ecuación de la siguiente manera:

Con el cero: y = 4 – 0 = 4
Con el uno: y = 4 – 1 = 3
Con el dos: y = 4 – 2 = 2

Ø  Para la ecuación y = 2x – 5, queda así: 

X
0
1
2
y
-5
-3
-1
Se reemplazan los valores en la ecuación de la siguiente manera:

Con el cero: y= 2(0) - 5 = 0 – 5 = -5
Con el uno: y = 2(1) – 5 = 2 – 5 = -3
Con el dos: y = 2(2) -5 = 4 – 5 = -1
3. Una vez encontrados los puntos se procede a graficar en el plano cartesiano. Cada pareja encontrada corresponde a un punto en el plano cartesiano, es decir:

Ø  En la ecuación: y = 4 – x, las parejas son: (0 , 4) (1 , 3) (2 , 2)
Ø  En la ecuación: y = 2x – 5, las parejas son: (0 , -5) (1 , -3) (2 ,-1)

4. Finalmente se hace la verificación reemplazando la solución del sistema en cada una de las ecuaciones dadas así: 
Solución del sistema: X= 3 ; Y= 1

En la ecuación y = 4 – x
1 = 4 - 3 
1 = 1  

En la ecuación y = 2x – 5
1 = 2(3) - 5
1 = 6 - 5 
1 = 1

VIDEO 1


VIDEO 2

VIDEO 3


TALLER SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. 

Para dar cumplimiento a la siguiente actividad, se les da la posibilidad de reunirse solo por parejas, no admito más personas. 

Individual, se resuelven 3 utilizando cada uno de los métodos, para un total de 12. 
Parejas: 5 utilizando cada uno de los métodos para un total de 20. 
NOTA: Favor ponerse en contacto con el docente para la asignación de los puntos, sugiero además que consigan hojas milimétricas que las pueden adquirir en una papelería, para que hagan con precisión los gráficos de cada ecuación y eviten tener inconvenientes en el momento de hallar los puntos de solución de cada sistema. 
No dejen esto para el final, ya que lleva tiempo resolver los sistemas por los procesos que estos implican. 

En el siguiente enlace les relaciono el modelo de dichas hojas 


FECHA DE ENTREGA: Junio 19/2020































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